研究动机

许多物理现象（以及金融现象）都可以建模为一个随机过程（stochastic process），并用随机微分方程（stochastic differential equation）来描述。然而，这两个内容在大多数概率论或微积分的入门课程中通常不会涉及。

从随机过程开始，最直观的理解方式是：它是由一组按时间索引的随机变量组成的集合。换句话说，与其在每个时刻 $t$ 上都有一个确定的数值，我们现在在每个时刻上有一个随机变量（这些变量之间通常有某种关联或共同属性）。表面上看这似乎很简单，但复杂性在于当我们令 $t$ 是连续时间变量时，问题就会变得更加棘手——我们稍后会详细看到。

在连续时间上的随机微分方程，是建模许多不同现象的非常自然的方式。一种常见的随机微分方程称为Langevin 方程（Langevin equation），它被用来描述多种类型的随机现象：

$$\frac{dX(t)}{dt}=\alpha (X,t)+\beta (X,t)\eta (t)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中 $X(t)$ 是一个随机过程，$\alpha$、$\beta$ 是 $X$ 和时间 $t$ 的函数，$\eta (t)$ 是噪声项。这个噪声项是使该微分方程“特殊”的关键，它引入了一种特别类型的随机性。虽然这只是一个示例，但它具有许多在其他随机微积分应用中也会出现的典型特征。

从直觉上来说，噪声项 $\eta (t)$ 表示“随机波动”，例如粒子在流体中与其他分子的随机碰撞，或股票价格的随机波动。为了精确定义这种“随机波动”，我们需要首先指定其某些性质，比如其时间相关函数（time correlation function）：

$$C(\tau )=E[\eta (0)\eta (\tau )]=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_0^T\eta (t)\eta (t+\tau )dt\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

由于这些波动是随机的，因此 $C(\tau )$ 应该是 $\tau$ 的递减函数，不应具有持续的影响。但这个定义很容易变得复杂，因此我们通常会采用更简洁的抽象模型来描述这些系统。

一种常见的简化假设是：这些随机波动在时间上完全不相关。如果我们关注的时间尺度远大于这些波动的时间尺度，这个假设是合理的。在这个前提下，我们有：

$$E[\eta (0)\eta (\tau )]=c\delta (\tau )\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

其中 $c$ 是常数，$\delta (\tau )$ 是狄拉克 δ 函数（Dirac delta function）。这意味着即使在无穷小时间尺度上，随机波动也是完全不相关的。另一个对应的假设是：在每个时间点 $t$，随机变量 $\eta (t)$ 是一个均值为零的高斯分布。

从某种角度看，$\eta (t)$ 简化了问题；但从另一些角度来看，它也使问题更加复杂。首先需要注意的是，$\eta (t)$ 是一个理论构造——现实中并不存在一个真正的随机过程能完全满足其性质。从式 (1.3) 可以看出，我们使用了理论上的狄拉克 δ 函数。这也意味着 $\eta (t)$ 的方差是无穷大（即 $C(\tau =0)$）。该构造具有所有频率下都为常数的功率谱密度（power spectral density），即无限带宽信号（参见 Wikipedia），这在物理上是不可实现的。

这个定义还带来另一个后果，即 $\eta (t)$ 在所有时间点上都是不连续的。在 $t$ 处的取值可能与稍后一点 $t+dt$ 的取值完全不同。这种性质使得诸如积分这样的基本运算变得非常困难。

回到我们在式 (1.1) 中的随机微分方程，我们可以两边同时乘以 $dt$ 并对两边积分，希望能得到：

$$X(T)=X(0)+{\int }_0^T\alpha (X,t)dt+{\int }_0^T\beta (X,t)\eta (t)dt\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

右边的第一个积分是标准积分，一般可以用常规微积分工具求解。而第二个含有 $\eta (t)$ 的积分正是我们遇到的难题。正是这一问题促使数学家们发展出一个新的数学分支——随机微积分，也就是本文的主题。