随机微分方程（Stochastic Differential Equations）

我们使用随机微积分最常见的问题之一是求解随机微分方程（SDE）。与非随机微分方程类似，SDE 出现在许多不同的现象中（我们将在下一节看到一些例子），而且它们通常写起来很自然，但不一定容易求解。

我们从定义开始：

一个随机微分方程具有如下形式： $$\begin{array}{rl}dX(t)& =\mu (t,X(t))dt\\ & +\sigma (t,X(t))dW(t)\text{（微分形式）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.35)}$$ $$\begin{array}{rl}X(T)& =X(t)+{\int }_t^T\mu (u,X(u))du\\ & +{\int }_t^T\sigma (u,X(u))dW(u)\text{（积分形式）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.36)}$$

其中，$\mu (t,x)$ 和 $\sigma (t,x)$ 是已知函数，分别称为漂移项（drift）和扩散项（diffusion）。此外，给定初始条件 $X(t)=x$，其中 $t\ge 0$。问题就是要找出在 $T\ge t$ 时满足上述条件的随机过程 $X(T)$。

请注意，$X(t)$ 出现在等式的两边，这使得很难显式地求解。不过一个不错的性质是：在 $\mu (t,x)$ 和 $\sigma (t,x)$ 满足一些适当条件的情况下，存在一个唯一的过程 $X(T)$ 能够满足上述方程。而且你可能也能猜到，对于一维的线性 SDE，我们是可以显式地求解的。

SDE 也会带来和非随机微分方程类似的复杂性，比如非线性、SDE 系统、多维 SDE（伴随多个维纳过程）等等。一般来说，大多数 SDE 并没有显式的闭式解，因此通常需要借助数值方法来求解。

两种常用的数值方法是 蒙特卡洛模拟 和 数值求解偏微分方程（PDE）。

大致来说，蒙特卡洛方法是通过模拟底层过程的多条路径，然后用这些路径来计算相关统计量（例如均值、方差等）。只要模拟路径足够多（以及有足够的时间），你通常就能获得任意精度的结果。

另一种方法是数值求解 PDE。在金融应用中，SDE 可以重写为一个 PDE 问题，然后就可以使用大量成熟的数值方法来求解这些 PDE。不过，这两种方法的详细工作原理超出了本文的范围（也是我目前不打算深入的内容），但网上有大量关于它们的资料。