Itô 引理

虽然许多随机过程可以写成 Itô 过程的形式，但我们所研究的过程往往并不符合公式 3.16/3.17 的形式。 一个常见的情形是，我们目标的随机过程 $Y(t)$ 是一个确定性的函数 $f(\cdot )$。 它是一个更简单的 Itô 过程 $X(t)$ 的函数形式：

$$Y(t)=f(t,X(t))\text{\hspace{1em}(3.28)}$$

在这种情况下，我们希望有一种方法可以将它简化为只包含一个 $dt$ 和一个 $dW(s)$ 项的形式，即公式 3.16/3.17 那种更简单的形式。这个技巧就叫做 Itô 引理（Itô's lemma）。

Itô's引理

设 $X(t)$ 是如公式 (3.16)/(3.17) 所示的伊藤过程，函数 $f(t,x)$ 拥有连续定义的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial t}$， $\frac{\partial f}{\partial x}$， $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ 对于任意 $T\ge 0$，有：

$$\begin{array}{rl}& f(T,X(T))\\ & =f(0,X(0))+{\int }_0^T\frac{\partial f(t,X(t))}{\partial t}dt+{\int }_0^T\frac{\partial f(t,X(t))}{\partial x}dX(t)\\ & +\frac{1}{2}{\int }_0^T\frac{{\partial }^{2}f(t,X(t))}{\partial x^2}dX(t)dX(t)\\ & =f(0,X(0))+{\int }_0^T\frac{\partial f(t,X(t))}{\partial t}dt+{\int }_0^T\frac{\partial f(t,X(t))}{\partial x}\mu (t)dt\\ & +{\int }_0^T\frac{\partial f(t,X(t))}{\partial x}\sigma (t)dW(t)+\frac{1}{2}{\int }_0^T\frac{{\partial }^{2}f(t,X(t))}{\partial x^2}{\sigma }^2(t)dt\end{array}\text{\hspace{1em}(3.29)}$$

由于 $dX(t)=\mu (t)dt+\sigma (t)dW(t)$，上述积分项可以展开为：

$$\begin{array}{rl}& df(t,X(t))\\ & =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dX(t)+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}dX(t)dX(t)\\ & =\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu (t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{{\sigma }^2(t)}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)dt+\frac{\partial f}{\partial x}\sigma (t)dW(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.30)}$$

---

非正式证明

将函数 $f(t,x)$ 按照泰勒展开式进行展开：

$$df(t,x)=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}d{x}^2+\cdots \text{\hspace{1em}(3.31)}$$

接下来将 $x$ 替换为 $X(t)$，并将 $dx$ 替换为$dX(t)=\mu (t)dt+\sigma (t)dW(t)$，得到： $$\begin{array}{rl}& df(t,X(s))\\ & =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}dX(t)+\frac{1}{2}\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)dX(t)dX(t)+\cdots \\ & =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}\left(\mu (t)dt+\sigma (t)dW(s)\right)\\ & +\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\left(\mu (t{)}^{2}d{t}^2+2\mu (t)\sigma (t)dtdW(s)+\sigma (t{)}^{2}dW(s)dW(s)\right)+\cdots \\ & =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial x}\left(\mu (t)dt+\sigma (t)dW(s)\right)\\ & +\frac{1}{2}\sigma (t{)}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}dW(s)dW(s)\text{（}d{t}^2=dtdW(t)=0\text{）}\\ & =\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu (t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2}{\sigma }^2(t)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)dt+\frac{\partial f}{\partial x}\sigma (t)dW(t)\text{（}dW(s)dW(s)=dt\text{）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.32)}$$

正如你所见，我们可以将上面公式 3.28 中的随机过程重新写成仅包含一个 $dt$ 项和一个 $dW(s)$ 项的形式（使用微分记号表示）。这可以被看作是全导数链式法则的一种形式，只不过现在由于存在非零的二次变差，我们需要额外包含一个关于 $dW(s)dW(s)$ 的二阶项。

Itô 引理是一个极其重要的结果，因为随机微积分的大多数应用“不过是在各种情境中反复使用这个公式” [1]。实际上，据我所知，很多随机微积分的入门课程都会跳过大量理论内容，直接进入 Itô 引理的应用，因为这基本就是你最需要掌握的内容。

例 7：Itô 引理

给定 Itô 过程 $X(t)$（如公式 3.16 所定义），我们考虑如下随机过程 $Y(t)$：

$$Y(t)=f(t,X(t))=X(t{)}^2+t^2\text{\hspace{1em}(3.33)}$$

使用 Itô 引理，我们可以将 $Y(t)$ 重写为微分形式（因为这样更简洁）：

$$\begin{array}{rl}dY(t)& =df(t,X(t))\\ & =\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu (t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma (t{)}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\right)dt+\frac{\partial f}{\partial x}\sigma (t)dW(t)\\ & =\left(2t+\sigma (t{)}^2+2\mu (t)X(t)\right)dt+2\sigma (t)X(t)dW(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.34)}$$

这个结果将 $Y(t)$ 表示为一个只包含 $dt$ 和 $dW(t)$ 项的更简单形式。