Black-Scholes-Merton 期权定价模型

要推导出 Black-Scholes-Merton 模型的完整数学过程相当深入，因此这里仅提供对一些主要概念和直觉的简要概述（紧随参考文献 [6]）。如果想要更轻量但直观的解释，可以参考 [6]，而详细的数学推导请见 [1]。

股票价格过程

股票价格可能是人们最自然会想到使用随机过程的领域之一。我们可能会尝试直接使用具有常数 $\mu$ 和 $\sigma$ 的 Itô 过程，但这会导致股票价格呈线性增长，而这并不符合实际。投资者通常预期的是 固定的百分比收益，而非固定的线性增长。例如，如果股票预期增长 10%，无论价格是 10 还是 100，都应该按该比例增长。

这自然导致了如下关于股票价格 $S$ 和常数收益率 $\mu$ 的微分方程（这当然是个很强的假设）：

$$dS=\mu Sdt\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

也就是说，股票价格的变化 $dS$ 等于当前价格的百分比增长 $\mu Sdt$。对两边同时除以 $S$ 并积分，可以求得时间 $t$ 时的解为：

$$S(t)=S_0{e}^{\mu t}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

当然，这个简化模型中没有任何随机成分。我们自然会预期，在一定时间内收益率是具有不确定性的。一个（或许）合理的假设是：在较小时间段内，收益的波动性相对于股票价格是相同的。换句话说，无论股票价格是 10 还是 100，我们对其回报的“相对不确定性”是相似的。

引入 Wiener 过程，我们可以将该假设加入公式 4.1 中，得出：

$$dS=\mu Sdt+\sigma SdW\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

这就形成了一个被称为几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）的随机微分方程。

幸运的是，GBM 具有封闭形式的解。我们可以通过对函数 $f(s)=\log s$ 应用 Itô 引理来推导这个解： $$\begin{array}{rl}d(\log S)& =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial s}dS+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial s^2}dSdS\\ & =0+\frac{dS}{S}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{S^2}dSdS\\ & =\frac{\mu Sdt+\sigma SdW}{S}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{S^2}(\mu Sdt+\sigma SdW{)}^2\text{（公式 4.3）}\\ & =\mu dt+\sigma dW-\frac{{\sigma }^2}{2}dt\text{（公式 2.27/2.28）}\\ & =\left(\mu -\frac{{\sigma }^2}{2}\right)dt+\sigma dW\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

由此可知，在区间 $[0,t]$ 上，$\log S$ 是一个正态分布过程，其均值为 $\left(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)t$， 方差为 ${\sigma }^{2}t$， 即： $$\log S\sim \mathcal{N}\left(\log S(0)+\left(\mu -\frac{1}{2}{\sigma }^2\right)t,{\sigma }^{2}t\right)\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

这意味着 $S$ 服从一个 对数正态分布（log-normal distribution），其统计特征如上所述。

Black-Scholes-Merton 微分方程

BSM 模型大概是数量金融中最著名的方程，但它的推导其实非常复杂，需要用到我们之前学习过的所有随机微积分知识。这个模型的核心是 BSM 微分方程，我们接下来将推导并讨论它。

首先要理解的是“无套利”（no arbitrage）条件。对于金融衍生品（例如看涨期权或看跌期权）和其所对应的基础股票来说，其价格不应该允许我们构建一个只买入或卖空这两者的投资组合就可以保证盈利的情形——也就是说，不存在套利机会。在这种理论投资组合中，你可以是“多头”，也就是买入并持有某项金融资产，或者是“空头”，即欠着但并不持有这项资产（这通常是通过借入资产、卖出它、之后再以更低的价格买回来、并归还借入的资产实现的）。理论上的“做空”本质上是买入操作的相反方向：资产价格下跌时你可以获利。

为了构建这样一个无风险或“无套利”的投资组合，我们希望以完全按照资产价格相对变动比例的方式去做多/做空基础股票，同时做空/做多衍生品。这个资产比例只在一个非常短的时间间隔内满足上述条件，并且必须随着市场条件的变化不断进行再平衡。

另一个关键概念是：一旦你构建好了这样一个“无风险”组合，它的回报应该等于“无风险利率”（在那个很短的时间段内保持平衡的前提下）。所谓无风险利率，指的是一种几乎可以确保获得该收益率的资产（例如：储蓄账户、或者更常见的是国债）。在上述几个条件和其他一些理想化假设下（如：股票价格满足我们之前建立的模型、无交易成本、无分红、可以完美做空等），我们就可以建立 BSM 微分方程了。

将上面的想法转化为具体的方程，我们首先假设某只股票的价格服从几何布朗运动，也就是之前的公式 4.3： $$\begin{array}{r}dS=\mu Sdt+\sigma SdW\end{array}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$ 该股票上的一个期权，其价格是当前股票价格 $S$ 和时间 $t$ 的某个函数 $f(S,t)$。应用 Itô 引理可以得到： $$\begin{array}{rl}df& =\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2}\right)dt+\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}dW\end{array}\text{\hspace{1em}(4.7)}$$ 公式 4.6 和 4.7 描述了：（a）基础股票价格 $dS$ 的微小变动，以及（b）该金融衍生品价格 $df$ 的微小变动。注意两个方程中的 Wiener 过程是相同的，这是因为 $f$ 是由 $S$ 推导出来的（可从 Itô 引理的推导中看出）。

现在我们手上有了股票价格 $S$ 和期权价格 $f(S,t)$ 的随机微分方程。我们的目标是构建一个包含这两种资产的投资组合，使得在某一时间和价格 $S$ 下，这个组合对股票价格的随机波动不敏感，也就是说不随 $dW$ 的变化而变化。

我们可以通过让两个 SDE 中的随机项（即 $dW$ 项）互相抵消来实现这个目的。由于 $dW$ 项是唯一的随机来源，一旦它被消去，我们就可以得到一个确定性地随时间变化的投资组合表达式。

为了抵消随机项，只需要将方程 4.6 和 4.7 中的 $dW$ 项相等，即可。这样，我们会得到这样一个组合：做空一个衍生品，持有 $\frac{\partial f}{\partial S}$ 份的标的资产。换句话说，组合中包含 空头 一个金融衍生品和 多头 $\frac{\partial f}{\partial S}$ 股股票。将组合的价值定义为 $\Pi$，我们有：

$$\begin{array}{r}\Pi =-f+\frac{\partial f}{\partial S}S\end{array}\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

对 $\Pi$ 取微分，并应用 Itô 引理，同时代入方程 4.6 和 4.7：

$$\begin{array}{rl}d\Pi & =-df+\frac{\partial f}{\partial S}dS\\ & =-\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu \frac{\partial f}{\partial S}S+\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2}{S}^2\right)dt-\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}dW+\frac{\partial f}{\partial S}\left(\mu Sdt+\sigma SdW\right)\\ & =-\left(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu \frac{\partial f}{\partial S}S+\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2}{S}^2\right)dt+\mu \frac{\partial f}{\partial S}\left(Sdt\right)\text{（抵消dW项）}\\ & =\left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2}{S}^2\right)dt\end{array}\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

根据设定（我们的假设条件），$\Pi$ 是一个在时间 $t$ 上“无风险”的组合，其价值是确定性地随时间变化的。无套利假设意味着这个组合的收益必须等于无风险利率 $r$。如果组合收益高于 $r$，你可以借入无风险资金构建这个组合并套利；如果组合收益低于 $r$，你可以做空这个组合、购买无风险资产，同样套利。

由此我们可以推断，在这个完美平衡的投资组合持续的无穷小时间内，$\Pi$ 的收益应等于无风险利率。利用公式 4.9，我们可以构建一个随机微分方程：

$$\begin{array}{rl}d\Pi & =r\Pi dt\\ \left(-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{{\sigma }^2}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2}{S}^2\right)dt& =r\left(-f+\frac{\partial f}{\partial S}S\right)dt\\ \frac{\partial f}{\partial t}+rS\frac{\partial f}{\partial S}+\frac{{\sigma }^2}{2}{S}^2\frac{{\partial }^{2}f}{\partial S^2}& =rf\end{array}\text{\hspace{1em}(4.10)}$$

公式 4.10 定义了 Black-Scholes-Merton 微分方程。请注意，这实际上是一个关于 $f(S,t)$ 的确定性微分方程，因为我们已经将随机的 Wiener 过程项消去了，而且 $S$ 和 $t$ 是给定的变量，而 $f(S,t)$ 是我们要求解的函数。

该方程的解取决于施加在 $f(S,t)$ 上的边界条件）。例如，对于欧式看涨和看跌期权，其行权价格为 $K$，到期时间为 $T$，边界条件如下：

$$\begin{array}{r}f(S,t)=\max (S-K,0),t=T\text{（欧式看涨（European call））}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.11)}$$ $$\begin{array}{r}f(S,t)=\max (K-S,0),t=T\text{（欧式看跌（European put））}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.12)}$$ 换句话说，当期权合约到期时，它的价值恰好是股票价格与执行价格之间的差额，若该差额为负则为 0（看跌期权则相反）。

解这个带边界条件的微分方程，就得到了最著名的 BSM 公式（更多细节点这里）。这里我们不展开介绍公式的具体形式，因为这不是本文的重点。但需要注意的是，BSM 公式有封闭形式解，这在金融建模中是一大优势。相比之下，许多更复杂的量化金融模型都不具有封闭解，甚至会超出 Itô 过程的范围（例如 跳跃过程（Jump Process））。这些模型通常需要使用近似解法（3.4 节会进一步讨论）。