Langevin 方程

Langevin 方程 是一个著名的随机微分方程，用于描述一个系统在受到确定性力和波动性力共同作用下的演化过程。最初的 Langevin 方程是在随机微积分被正式发展之前就提出的，其背景是研究一个粒子在流体中看似随机运动的行为，即所谓的 布朗运动。由于 Wiener 过程与布朗运动密切相关，它们有时可以互换使用来描述这一底层的随机过程。

许多人都曾为布朗运动的发现做出贡献（包括爱因斯坦），但与之相关的随机微分方程是由 Langevin 于 1908 年推导出来的，因此以他命名。有趣的是，Langevin 并未以数学家的严谨标准来处理他的随机微分方程，这反而催生了“随机分析”这一研究领域，致力于解决他的方法中存在的一些问题。

在本节中，我将简要介绍 Langevin 方程在布朗运动背景下的形式，并略去许多在物理课上通常会做的详细分析。此外，我将使用 Itô 微积分来处理它，这并不是 Langevin 最初采用的方法，也不是传统的方法。最后，我还会简要提到它在金融领域中的一个应用。

4.2.1 布朗运动与 Langevin 方程

原始的 Langevin 方程描述的是，一个（通常较大）粒子在流体中由于与流体分子发生碰撞而产生的随机运动：

$$m\frac{d{v}_t}{dt}=-\lambda v_t+\eta (t)\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

其中，$m$ 表示粒子的质量，$v_t$ 是粒子的速度，$\frac{d{v}_t}{dt}$ 是加速度（速度对时间的导数），$\eta (t)$ 是白噪声项，它具有零均值和平坦的频谱（也就是我们在第 2.5 节中讨论过的那种白噪声）。

我们可以使用 牛顿第二定律 来理解这个方程：物体所受的合力等于其质量乘以加速度（ $F_{\text{net}}=ma$）。 左边是合力，右边是质量乘以加速度。在这个 Langevin 方程中，右边的力由两个部分组成：(a) 一个与速度成正比的 阻力（想象类似于空气阻力），表示为 $-\lambda v_t$； (b) 一个表示流体中小分子随机碰撞影响的噪声项 $\eta (t)$。

这个建模有点奇怪，因为我们把微观层面的阻力项（如粒子受到的黏性阻力）和看似宏观平均的噪声项混合在了一起，因此我们需要更多解释。

噪声项 $\eta (t)$ 实际上是一种近似。理论上，在任意时间点上都有具体的分子与我们研究的粒子碰撞。那么我们为什么还要使用 $\eta (t)$ 这个噪声项呢？除了数学上简化推导之外，更重要的理由是：在小时间间隔内，这个噪声项很好地近似了粒子所受的平均随机力。这是因为我们现实中的观测仪器并不是无限精确的，只能测量有限时间内的平均值，而这些观测在统计上与公式 4.13 中的白噪声项非常相似。

因此，虽然 Langevin 方程并不是完美的物理模型，但它在描述这种物理现象时已经是非常不错的近似（而且也适用于其他很多具有类似结构的系统，只需对基本方程稍作调整）。

有趣的是，当 Langevin 最初写出他的方程时，噪声项实际上并没有被严格地定义（也就是说，并不具有数学上的严谨性）。然而，随着随机微积分的发展，我们可以将其写成一个等价的随机微分方程，这个方程通常被称为 Ornstein-Uhlenbeck 过程，形式如下：

$$d{v}_t=-\theta v_{t}dt+\sigma dW\text{\hspace{1em}(4.14)}$$

其中，$\theta$ 和 $\sigma$ 是常数，并假设 $\eta (t)$ 表示为 $\eta (t)=\frac{dW}{dt}$。

顺便提一句，从技术上讲，Wiener 过程在数学上是处处不可导的，因此 $\frac{dW}{dt}$ 并没有精确的数学意义。这也是为什么我们很少以这种形式来表示它，而是采用公式 4.14 的微分形式。

公式 4.14 的复杂之处在于，我们的目标过程 $v_t$ 同时出现在微分项和非微分项中——这正是随机微分方程的特点。不过由于这是一个相对简单的 SDE，我们可以用类似于常微分方程的技巧，再结合 Itô 引理来计算其解。

不深入探讨背后的全部推理，我们从函数 $f(t,v_t)=v_t{e}^{\theta t}$ 开始，写下它的微分形式和类似于我们在推导 Itô 引理时的泰勒展开式：

$$\begin{array}{rl}df(t,v_t)& =\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial v_t}d{v}_t+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v_t^2}(d{v}_t{)}^2\\ & =\theta v_t{e}^{\theta t}dt+e^{\theta t}d{v}_t+(0)(d{v}_t{)}^2\\ & =\theta v_t{e}^{\theta t}dt+e^{\theta t}(-\theta v_{t}dt+\sigma dW)\text{（公式 4.14）}\\ & =\sigma e^{\theta t}dW\\ {\int }_0^{t}df& =v_0+{\int }_0^t\sigma e^{\theta s}dW\\ v_t{e}^{\theta t}& =v_0+{\int }_0^t\sigma e^{\theta s}dW\\ v_t& =v_0{e}^{-\theta t}+\sigma {\int }_0^t{e}^{-\theta (t-s)}dW\end{array}\text{\hspace{1em}(4.15)}$$

这展示了我们所讨论的随机微分方程的一般解。我们可以通过计算它的均值和方差来刻画这个随机过程。首先，我们利用一个事实，即 Itô 积对确定性被积函数来说是正态分布的，因此方程 (4.15) 中的第二项的期望为 0，于是（假设初始速度 $v_0$ 是非随机的）：

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[v_t]& =\mathbb{E}\left[v_0{e}^{-\theta t}\right]+\mathbb{E}\left[\sigma {\int }_0^t{e}^{-\theta (t-s)}dW\right]\\ & =v_0{e}^{-\theta t}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.16)}$$

这表明平均速度随时间衰减得非常快。接下来我们可以使用 Itô 等距定理（前文定理 4）来计算方差：

$$\begin{array}{rl}\text{Var}(v_t)& =\mathbb{E}\left[(v_t-\mathbb{E}[v_t]{)}^2\right]\\ & =\mathbb{E}\left[{\left(\sigma {\int }_0^t{e}^{-\theta (t-s)}dW\right)}^2\right]\\ & ={\sigma }^2\mathbb{E}\left[{\int }_0^t{e}^{-2\theta (t-s)}ds\right]\text{（Itoˆ 等距定理）}\\ & =\frac{{\sigma }^2}{2\theta }\left(1-e^{-2\theta t}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.17)}$$

由平均值与方差的结果，加上我们知道被积函数是关于 $W$ 的（且 $W$ 是正态分布的），我们可以推断该随机过程是一个经过缩放和平移的 Wiener 过程：

$$v_t=v_0{e}^{-\theta t}+\frac{\sigma }{\sqrt{2\theta }}W\left(1-e^{-2\theta t}\right)\text{\hspace{1em}(4.18)}$$

同样，我们可以通过对速度 $v_t$ 关于时间积分来计算位移 $x_t$：

$$\begin{array}{rl}{x}_t& ={\int }_0^t{v}_{s}ds\\ & ={\int }_0^t{v}_0{e}^{-\theta s}ds+{\int }_0^t\frac{\sigma }{\sqrt{2\theta }}W\left(1-e^{-2\theta s}\right)ds\\ & =\frac{v_0}{\theta }\left(1-e^{-\theta t}\right)+{\int }_0^t\frac{\sigma }{\sqrt{2\theta }}W\left(1-e^{-2\theta s}\right)ds\end{array}\text{\hspace{1em}(4.19)}$$

我们不会展开最后一个时间积分，但你可以参考这个 StackExchange 答案 进行计算，其中说明它的均值为零。因此，平均位移最终收敛到 $\frac{v_0}{\theta }$。 有关该过程的物理背景，可参见维基百科上的 这篇文章。