2.3 自适应过程（Adapted Processes）

请注意，在上一节中我们对随机过程的定义包括了如下形式的随机变量： $X_t:\Omega \to E\subseteq \mathbb{R}$。 其中每个 $\omega \in \Omega$ 表示一次无限长实验的具体结果（通常是一串无限的抛掷结果序列）。

这一设定隐含着：在某个“时间” $t$，我们有可能依赖于“未来”的结果，因为定义中允许 $X_t$ 依赖于所有的试验结果，包括那些时刻大于 $t$ 的部分。

然而，在许多实际应用中，我们希望将 $t$ 明确解释为时间变量，因此我们有必要对随机过程的定义施加限制。

所谓一个自适应的随机过程（adapted stochastic process），是指它不能“预知未来”。
更非正式地说，这意味着对于任意时刻 $t$ 的变量 $X_t$，我们只能依据实验结果的前 $t$ 项（即 ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_t$）来确定其值，而不能借助未来的信息。

为了更严格地刻画这一点，我们需要引入几个技术性的定义。

在此前的子章节中，我们已经介绍了由随机变量 $X$ 所诱导的 $\sigma$-代数 $\sigma (X)$。
现在，设我们有一个事件空间的子集 $\mathcal{G}$，如果 $\sigma (X)\subseteq \mathcal{G}$，那么我们称 $X$ 是 $\mathcal{G}$-可测 （$\mathcal{G}$-measurable）的。 这意味着我们可以仅通过 $\mathcal{G}$ 中的信息来描述或“测量”与 $X$ 有关的所有事件。

基于这一概念，我们可以在事件空间 $\mathcal{F}$ 与索引集合 $T$ 上引入滤子（filtration）的概念：

滤子（Filtration） 是一组有序的 $\sigma$-代数集合： $\mathbb{F}:=({\mathcal{F}}_t{)}_{t\in T}$。 其中每个 ${\mathcal{F}}_t$ 是 $\mathcal{F}$ 的子 $\sigma$-代数，且满足对于任意 $t_1\le t_2$ 有： ${\mathcal{F}}_{t_1}\subseteq {\mathcal{F}}_{t_2}$

换句话说，事件空间 $\mathcal{F}$ 被划分成了一系列按照时间递增的信息集合 ${\mathcal{F}}_t$，随着时间推移，我们可以获取的信息越来越多，但不会遗失原有的信息。

这种结构正是对“信息随时间演化”的一种形式化描述，在许多随机过程理论和金融数学中至关重要。

在此基础上，我们可以正式定义自适应过程：

一个随机过程 $X_t:T\times \Omega \to \mathbb{R}$ 若满足对任意 $t$，$X_t$ 是 ${\mathcal{F}}_t$-可测的，则称该过程对滤子 $({\mathcal{F}}_t{)}_{t\in T}$ 是自适应的（adapted）。

也就是说，$X_t$ 只能依赖于时间 $t$ 时刻之前或当时所掌握的信息。

这种“可用信息”正是由 ${\mathcal{F}}_t$ 编码的。
我们只能在 ${\mathcal{F}}_t$ 所描述的事件之上计算与 $X_t$ 有关的概率，从而有效限制了信息获取的范围，避免依赖未来信息。

正如随机过程中的许多概念一样，我们需要保持高度的形式化严谨性，以防止出现违反因果性或悖论的情况。
接下来的例子将帮助我们更直观地理解滤子与随机变量之间的关系。

例 4：自适应伯努利过程（Adapted Bernoulli Process）

首先，我们需要为伯努利过程指定一个所适应的滤族（filtration）。借用附录 A 中的定义，我们重述如下两个事件集合：

$$\begin{array}{rl}{A}_H& =\left\{\omega :{\omega }_1=H\right\}\\ A_T& =\left\{\omega :{\omega }_1=T\right\}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

这两个集合分别定义了所有以“正面（Head）”和“反面（Tail）”开头的无限抛掷序列。我们使用这两个集合来构造第一个子 $\sigma$-代数：

$${\mathcal{F}}_1=\left\{\varnothing ,\Omega ,A_H,A_T\right\}\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

注意到 ${\mathcal{F}}_1\subset \mathcal{F}$，这是由定义决定的。我们也可以看看由随机变量产生的事件：

$$\begin{array}{rl}\{X_1\in \{1\}\}& =\{\omega \in \Omega \mid X_1(\omega )\in \{1\}\}\\ & =\{\omega :{\omega }_1=H\}\\ & =A_H\\ \{X_1\in \{-1\}\}& =\{\omega \in \Omega \mid X_1(\omega )\in \{-1\}\}\\ & =\{\omega :{\omega }_1=T\}\\ & =A_T\end{array}\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

因此，我们有 $\sigma (X_1)={\mathcal{F}}_1$。 也就是说，随机变量 $X_1$ 所诱导的 $\sigma$-代数与我们构造的 ${\mathcal{F}}_1$ 完全一致，意味着 $X_1$ 是 ${\mathcal{F}}_1$-可测的（measurable），这正符合我们对自适应性的要求。

让我们进一步理解其含义。根据式 (2.11)，在时间 $t=1$ 时刻我们能够度量的事件只有以下几种：空集、全集、首抛为正面的所有序列，以及首抛为反面的所有序列。这对应的概率值只有四种：$0$、$1$、$p$ 和 $1-p$，刚好是我们期望伯努利变量 $X_1$ 能够计算的结果。

但深入来看，这与直觉上的理解还是有区别的。集合 $A_H$ 包含的是所有以正面开头的无限序列，而不仅仅是“第一次抛掷是正面”的信息。

请记住，在随机过程中每一个时间索引 $t$ 所对应的 $X_t$ 实际上是作用于整个样本空间 $\Omega$ 上的函数，而这个样本空间由无限长的序列组成。因此，我们无法仅凭“首项为 H”这样的朴素想法来定义事件集合，而需要使用符合条件的整个序列集合来进行分组和概率测量。这种形式化的定义虽然复杂，但正是为了应对无限样本空间下的严谨性问题。

如果我们继续向后构造更高时间点的滤族，例如： $${\mathcal{F}}_2,{\mathcal{F}}_3,\dots$$

采用类似方式定义，那么可以发现每一个 $X_t$ 都是 ${\mathcal{F}}_t$-可测的（详见附录 A）。同时，每一个 ${\mathcal{F}}_{t+1}$ 都包含其前一时刻的 ${\mathcal{F}}_t$，即滤族是递增的。

因此，我们可以得出结论：伯努利过程 $X(t)$ 是适应于滤族 $({\mathcal{F}}_t{)}_{t\in \mathbb{N}}$ 的，正如附录A中定义的那样。