Wiener 过程与白噪声的关系

Wiener 过程可以通过几种等价的方式来刻画，上面给出的定义是其中最常见的一种。另一种常见的定义方式是利用我们在动机部分中提到的白噪声。在这种定义下，Wiener 过程是高斯白噪声的定积分，换句话说，高斯白噪声是 Wiener 过程的导数：

$$W(t)={\int }_0^t\eta (s)ds\text{\hspace{1em}(2.29)}$$

$$\frac{dW(t)}{dt}=\eta (s)\text{\hspace{1em}(2.30)}$$

为了理解这个关系为何成立，我们先从 [4] 中定义的随机过程的导数说起：

一个随机过程 $X(t),t\in \mathbb{R}$，如果在二次均值意义下可导，其导数为 $X^{\prime }(t)$，那么它满足：

$$\begin{gathered} \frac{X(t+h)-X(t)}{h}\to X^{\prime }(t) \\ E\left[{\left(\frac{X(t+h)-X(t)}{h}-X^{\prime }(t)\right)}^2\right]\to 0\text{\hspace{1em}(2.31)} \end{gathered}$$

其中 $h\to 0$ 。

我们可以看到，这个定义与普通微积分中导数的定义非常相似，只是这里我们要求的是期望趋近于 0，并且是一个更弱的平方收敛。我们将在下一节中再次看到这种收敛方式。

从这个定义出发，我们可以计算 $W(t)$ 导数的期望：

$$\begin{array}{rl}E\left[\frac{dW(t)}{dt}\right]& =E\left[\underset{h\to 0}{\lim }\frac{W(t+h)-W(t)}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{E[W(t+h)]-E[W(t)]}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0-0}{h}\\ & =0\end{array}\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

类似地，我们可以对随机过程导数的时间相关性给出一个通用性质的推导：

$$\begin{array}{rl}{C}_{X^{\prime }}(t_1,t_2)& =\mathbb{E}\left[\underset{k\to 0}{\lim }\frac{X(t_1+k)-X(t_1)}{k}\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{X(t_2+h)-X(t_2)}{h}\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{k}\mathbb{E}\left[(X(t_1+k)-X(t_1))(X(t_2+h)-X(t_2))\right]\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\underset{k\to 0}{\lim }(\frac{\mathbb{E}[X(t_1+k)X(t_2+h)]-\mathbb{E}[X(t_1+k)X(t_2)]}{k}\\ & -\frac{\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2+h)]+\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]}{k})\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\underset{k\to 0}{\lim }(\frac{C_X(t_1+k,t_2+h)-C_X(t_1,t_2+h)}{k}\\ & -\frac{C_X(t_1+k,t_2)-C_X(t_1,t_2)}{k})\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left(\frac{\partial C_X(t_1,t_2+h)}{\partial t_1}-\frac{\partial C_X(t_1,t_2)}{\partial t_1}\right)\\ & =\frac{{\partial }^2{C}_X(t_1,t_2)}{\partial t_1\partial t_2}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

因此我们可以得出结论，随机过程导数的时间相关性是协方差函数的二阶偏导。接下来我们只需要将其应用到 Wiener 过程上即可。

首先，假设 $t_1<t_2$，Wiener 过程的时间相关性为（详见这个 StackExchange 答案）：

$$\begin{array}{rlr}0& =\mathbb{E}[W(t_1)(W(t_2)-W(t_1))]& \text{（增量独立）}\\ & =\mathbb{E}[W(t_1)W(t_2)]-\mathbb{E}[(W(t_1){)}^2]& \\ & =\mathbb{E}[W(t_1)W(t_2)]-t_1& \text{（Var}(W(t_1))=t_1）\\ C_W(t_1,t_2)& =\mathbb{E}[W(t_1)W(t_2)]=t_1=\min (t_1,t_2)& \end{array}\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

我们若假设 $t_2<t_1$，也会得到相同的结果，因此： $C_W(t_1,t_2)=\min (t_1,t_2)$

接下来我们要计算它的二阶偏导数。只要 $t_1\ne t_2$，一阶偏导是很容易的（参考这个 StackExchange 答案）：

$$\begin{array}{rlr}\frac{\partial }{\partial t_1}\min (t_1,t_2)& =\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{t}_1<t_2\\ 0& \text{if }{t}_1>t_2\end{array}& \\ & =H(t_2-t_1)& \text{（除了 t1=t2）}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.35)}$$

其中 $H(x)$ 是 Heaviside 阶跃函数。而我们知道，该阶跃函数的导数就是 Dirac δ 函数（即使在间断点处未定义也无妨），因此：

$$C_{W^{\prime }}(t_1,t_2)=\frac{{\partial }^2}{\partial t_1\partial t_2}\min (t_1,t_2)=\frac{\partial }{\partial t_2}H(t_2-t_1)=\delta (t_2-t_1)\text{\hspace{1em}(2.36)}$$

从公式 2.32 和 2.36 可见，这和我们在动机部分的公式 1.4 中对白噪声的定义具有相同的统计特性。由于均值为零，协方差就等于时间相关性，即 $\text{Cov}(W^{\prime }(t_1),W^{\prime }(t_2))=C_{W^{\prime }}(t_1,t_2)$。

现在我们只需要再证明其服从正态分布。根据上文定义，Wiener 随机过程的导数为：

$$\frac{dW(t)}{dt}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{W(t+h)-W(t)}{h}\text{\hspace{1em}(2.37)}$$

由于 Wiener 过程的每个增量都服从正态分布（且相互独立），所以上述导数也是正态分布的，因为两个独立正态变量的差仍然服从正态分布。

因此我们可以得出结论：Wiener 过程的导数是一个均值为零、时间相关性为 Dirac δ 函数的高斯过程，这正是高斯白噪声的标准定义。于是我们便证明了公式 2.29 / 2.30 中所给的关系。