Wiener 过程的重要性

你可能会问（尤其是在阅读下一节之后）：为什么我们要如此关注 Wiener 过程？事实上，Wiener 过程是唯一一个具有平稳独立增量的连续过程（当然，是在一个缩放因子和漂移项的自由度下）[5]。我们可以更精确地表述这个结论。

一个随机过程如果满足以下条件，就称其具有独立增量：对于任意 $s\le t$，增量 $X(t)-X(s)$ 与所有满足 $u\le s$ 的过去值 $\{X(u)\}$ 相互独立。

如果增量的分布不依赖于 $s$ 或 $t$ 本身，而仅依赖于差值 $t-s$，那么称其具有平稳增量（stationary increments）。

由此我们可以得到一个非常重要的结论：

定理 3

任何具有平稳独立增量的连续实值过程 $X$，都可以表示为：

$$X(t)=X(0)+bt+\sigma W(t)\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

其中 $b,\sigma$ 为常数。

公式 2.38 定义了广义的 Wiener 过程，它包括了一个可能非零的初始值 $X(0)$，一个确定性的漂移项 $bt$，以及一个缩放因子 $\sigma$。

这个定理的直觉来源其实就是中心极限定理。对于区间 $[s,t]$，增量 $X(t)-X(s)$ 可以看作是许多个无穷小的、独立同分布的子增量之和，也就是说可以看作是若干独立同分布的随机变量之和（它们不一定服从正态分布）。因此，根据中心极限定理，在一些温和的假设下，这个和趋近于正态分布。

具有独立增量的过程在很多实际场景中都会出现。例如：一个宏观粒子在液体中运动，由于与液体分子的随机碰撞产生了随机位移，这种过程很自然地可以用 Wiener 过程建模。又比如，股票价格在非常短的时间内的收益波动基本上与价格本身无关，因此也可以被建模为 Wiener 过程。我们稍后会详细探讨这两个例子。