随机微积分

随机微积分的主要目标之一，就是要让以下这个积分有意义：

$${\int }_0^{t}H(s)dX(s)\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

其中 $X(t)$ 和 $H(t)$ 是两类特殊的随机过程。这引出了几个关键问题：

1. 我们从这个随机积分中得到了什么“东西”？
   其实很简单，结果依然是一个随机过程。尽管这点一开始可能不太显然，但定义出来后你会发现这是很自然的结论。

2. 如何处理积分区间是时间 $t$，但被积函数和被积变量却是带有时间指标的随机过程这一点？
   我们会看到，这个积分的定义在概念上与普通的 Riemann 积分 没有本质不同，但因为所用的是随机过程（比如 Wiener 过程），所以会有一些关键的区别。

3. 当被积变量（例如 Wiener 过程）是不可导的时怎么办？尤其是它有非零的二次变差（quadratic variation）时？
   这正是随机微积分与普通微积分之间最重要的区别之一。在普通积分中不重要的选择（比如采样点），在随机积分中却会影响结果，从而导致和传统积分操作不同的输出。

我们之前学习的所有内容现在都要派上用场了！我们将用那些概念来严谨地定义公式 3.1。我们先从最简单的情况入手，也就是当 ( X(t) ) 是 Wiener 过程时的积分定义，然后再推广到更广义的 Itô 过程，并引入一个关键结果 —— Itô 引理，它可以看作是随机版本的链式法则，从而帮助我们解决更多有趣的问题。