布朗运动（Brownian Motion）下的随机积分

首先我们从最简单的情况开始，也就是积分器 $dX(t)$ 是Wiener过程（Wiener Process）。对于这个简单的情况，我们可以这样定义积分：

$${\int }_0^{t}H(s)dW(s):=\underset{|\Pi |\to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}H(s_j)\left(W(t_{j+1})-W(t_j)\right)\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

其中 $t_j\le s_j\le t_{j+1}$，而 $|\Pi |$ 是分割的最大区间长度，在分割数量趋近于无穷时趋近于 0，类似于标准的黎曼积分。

从宏观上看，公式 (3.2) 与我们平常接触的黎曼积分区别不大。然而，需要注意的是，我们现在积分的是 $dW(s)$ 而不是 $dt$，这会使结果比普通积分更加“波动”。我们可以通过一个小时间步长 $\Delta t$ 来对比一下普通积分和随机积分的近似形式，时间从 $t$ 开始：

$$R(t+\Delta t):={\int }_0^{t+\Delta t}H(s)ds\approx R(t)+H(t)\Delta t\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

$$I(t+\Delta t):={\int }_0^{t+\Delta t}H(s)dW(s)\approx I(t)+H(t)\left(W(t+\Delta t)-W(t)\right)\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

我们可以看出 $R(t)$ 比 $I(t)$ 的变化更可预测，因为每一小段的变化只是 $H(s)\Delta t$。注意 $H(s)$ 仍然可以是一个随机函数，$R(t)$ 也可以是随机的，但它的变化是乘上一个确定性的 $\Delta t$。

而相反的，$I(t)$ 的变化是 $W(t+\Delta t)-W(t)$，这意味着它是一个服从独立正态分布的随机变量（每段Wiener过程增量是独立的，分布为 $\mathcal{N}(0,\Delta t)$）。因此像 $H(t)(W(t+\Delta t)-W(t))$ 这样的项变化就非常随机和剧烈，因为增量是独立随机的，而不仅仅是一个 $\Delta t$。 这正是我们为什么需要定义一种新的“微积分”的核心直觉之一。

为了确保公式 (3.2) 中的随机积分是良定义的，我们需要满足几个条件，下面简要总结如下：

1. 对于采样点 $s_j$ 的选择非常关键（这不同于常规积分中采样点的选择不影响结果）。Itô 积分通常使用 $s_j=t_j$，这种定义在金融领域中更常见；而 Stratonovich 积分使用的是 $s_j=\frac{t_j+t_{j+1}}{2}$。 这种定义在物理学中更常见。我们将在本文的大部分讨论中使用 Itô 积分，但稍后会用实例展示两者的区别。

2. 被积函数 $H(t)$ 必须适应于（adapted to）与积分器 $X(t)$ 相同的过程。这意味着 $H(t)$ 不能“看到未来”的信息。这在大多数应用中是合理的假设。

3. 被积函数需要满足平方可积性条件，也就是： $E\left[{\int }_0^T{H}^2(t)dt\right]<\infty$。

4. 理想情况下，我们希望每个采样点的函数值 $H(s_j)$ 在取极限时能以概率 1 收敛到 $H(s)$。但这是一个很强的条件，因此我们实际使用较弱的 平方收敛（mean-square convergence） 条件，即：

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }E\left[{\int }_0^T{\left|H_n(t)-H(t)\right|}^{2}dt\right]=0\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

   其中我们定义： $H_n(s):=H(t_j)\text{当}{t}_j\le s<t_{j+1}$。 也就是说，$H_n$ 是 $H(t)$ 的分段常值逼近，并且是取区间左端点的值。

例 6：一个用两种方式计算的简单随机积分

我们来计算一个简单的积分，其中被积函数和积分器都是 Wiener过程：

$${\int }_0^{t}W(s)dW(s)=\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}W(s_j)\left[W(t_{j+1})-W(t_j)\right]\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

首先，我们采用 Itô 约定，即选取 $s_j=t_j$：

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{t}W(s)dW(s)\\ & =\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}W(t_j)\left[W(t_{j+1})-W(t_j)\right]\\ & =\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}\left[W(t_j)W(t_{j+1})-W(t_j{)}^2+\frac{1}{2}W(t_{j+1}{)}^2-\frac{1}{2}W(t_{j+1}{)}^2\right]\\ & =\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}\left[\frac{1}{2}W(t_{j+1}{)}^2-\frac{1}{2}W(t_j{)}^2-\frac{1}{2}W(t_{j+1}{)}^2+W(t_j)W(t_{j+1})-\frac{1}{2}W(t_j{)}^2\right]\\ & =\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}\frac{1}{2}\left[W(t_{j+1}{)}^2-W(t_j{)}^2\right]-\frac{1}{2}{\left[W(t_{j+1})-W(t_j)\right]}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

第一项是一个望远镜求和（telescoping sum），具有大量的抵消项：

$$\begin{array}{rl}\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}\frac{1}{2}[W(t_{j+1}{)}^2-W(t_j{)}^2]& =\frac{1}{2}(W(t{)}^2-W(0{)}^2)\\ & =\frac{1}{2}W(t{)}^2-0=\frac{W(t{)}^2}{2}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

第二项就是我们在定理 1 中看到的方差项（quadratic variation），它等于时间间隔 $t$。将两者合并，我们得到：

$${\int }_0^{t}W(s)dW(s)=\frac{W(t{)}^2}{2}-\frac{t}{2}\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

我们会注意到，这个结果几乎看起来像普通微积分中的结果，比如： $\int xdx=\frac{x^2}{2}$， 只是多了一个额外项。正如我们上面看到的，这个额外项恰恰是由于 Wiener过程具有非零的二次变差（quadratic variation）而产生的。如果 Wiener过程具有连续可微的路径，那我们就不需要这些关于随机积分的额外处理。

我们现在来看在 Stratonovich 积分定义下，使用符号 $\circ$ 表示的积分 ${\int }_0^{t}W(s)\circ dW(s)$ 是如何处理的。我们使用中点采样 $s_j=\frac{t_j+t_{j+1}}{2}$，定义如下：

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_0^{t}W(s)\circ dW(s)& \\ & =\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}W(s_j)\left[W(t_{j+1})-W(t_j)\right]& \\ & =\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}[W(s_j)W(t_{j+1})-W(s_j)W(t_j)+W(t_j)W(s_j)-W(t_j)W(s_j)& \\ & +W(t_j{)}^2-W(t_j{)}^2+W(s_j{)}^2-W(s_j{)}^2]& \\ & =\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}\left[W(t_j)(W(s_j)-W(t_j))+W(s_j)(W(t_{j+1})-W(s_j))\right]& \\ & +\sum _{j=0}^{n-1}{\left[W(s_j)-W(t_j)\right]}^2& \\ & ={\int }_0^{t}W(s)dW(s)+\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}[W(s_j)-W(t_j){]}^2\text{（Itoˆ 积分划分点为}{t}_0,s_0,t_1,s_1,\dots \text{）}& \\ & =\frac{W(t{)}^2}{2}-\frac{t}{2}+\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}[W(s_j)-W(t_j){]}^2（公式3.9）& \\ & =\frac{W(t{)}^2}{2}-\frac{t}{2}+\frac{t}{2}\text{（半样本二次变差）}& \\ & =\frac{W(t{)}^2}{2}& \end{array}\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

我们利用了半样本二次变差等于 $\frac{t}{2}$ 这一事实，其证明方法类似于定理 1。

从这里我们可以看出，Stratonovich 积分实际上更符合我们通常的微积分规则，这也是它在某些领域中被使用的原因。然而，在许多领域（如金融）中，它却并不合适。

这是因为被积函数代表的是我们在某一时间区间内所做出的决策： $[t_j,t_{j+1}]$ 比如对某种资产的持仓，而我们必须在该区间开始之前就做出决策，而不是在中间某个时刻才决定。就好比你在一天快结束时才决定：“早上我其实应该多买一点这只上涨的股票”——这就太迟了。

布朗运动随机积分的二次变差

让我们来研究一下刚刚定义的随机积分在某条路径上的二次变差（或称为增量平方差的总和），以及一个相关的性质。注意：随机积分的“输出”本身是一个随机过程。

定理 3

由 Wiener过程（记作 $I$，见公式 3.2）构成的 Itô 积分在时刻 $t$ 累积的二次变差为：

$$[I,I]={\int }_0^{t}H(s{)}^{2}ds\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

定理 4（Itô 等距公式）

公式 3.2 中与Wiener过程相关的 Itô 积分满足以下等式：

$$\mathrm{Var}(I(t))=\mathbb{E}[I(t{)}^2]=\mathbb{E}\left[{\int }_0^{t}H(s{)}^{2}ds\right]\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

有几个需要注意的地方。

首先，二次变差是由底层被积函数 $H(t)$ 缩放的，而不像Wiener过程那样以每单位时间累积单位变差。

其次，我们开始看到 二次变差 和 方差 之间的区别：二次变差是路径相关的，它取决于 $H(t)$ 在时间 $t$ 之前所经历的路径。如果 $H(t)$ 较大，那么累积的二次变差也会较大；反之亦然。而方差是对所有路径进行平均后得到的固定值，在给定分布下它不会因单一路径而变化。

最后，我们借助公式 2.26-2.28 中的非正式微分记号，来直观理解一下二次变差。我们可以将第 3.2 式中的 Itô 积分改写为：

$$I(t)={\int }_0^{t}H(s)dW(s)\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

这称为积分形式，而它的微分形式如下：

$$dI(t)=H(t)dW(t)\text{\hspace{1em}(3.14)}$$

两者是等价的。

微分形式从直觉上更容易理解。它与上一小节中我们讨论的近似表达（公式 3.4）是吻合的。利用这种微分记号，并结合公式 2.26-2.28 中的非正式规则，我们可以“计算”二次变差如下：

$$dI(t)\cdot dI(t)=H(t{)}^2\cdot dW(t)\cdot dW(t)=H(t{)}^2\cdot dt\text{\hspace{1em}(3.15)}$$

其中我们使用了Wiener过程的二次变差增长速率为 1 单位/时间这一事实（来自定理 1）： $dW(t)\cdot dW(t)=dt$。 我们将在后续讨论随机微分方程（SDE）时频繁使用这种微分记号。