Itô 过程与积分

在前面的子小节中，我们只考虑了Wiener过程作为被积函数的情况，但我们希望将其扩展到更一般的一类随机过程，称为 Itô 过程¹：

设 $W(t),t\ge 0$ 是一个带有关联滤过（filtration）$\mathcal{F}(t)$ 的Wiener过程。Itô 过程是如下形式的随机过程：

$$X(t)=X(0)+{\int }_0^t\mu (s)ds+{\int }_0^t\sigma (s)dW(s)\text{\hspace{1em}(3.16)}$$

其中 $X(0)$ 是非随机常数，而 $\mu (s)$ 和 $\sigma (s)$ 是适应于滤过 $\mathcal{F}(t)$ 的随机过程。

这个表达式（公式 3.16）也可以写成更自然的（非正式）微分形式：

$$dX(t)=\mu (t)dt+\sigma (t)dW(t)\text{\hspace{1em}(3.17)}$$

很大一类的随机过程其实都是 Itô 过程。事实上，任何平方可积并且关于某个Wiener过程所生成的滤过是可测的随机过程，都可以被公式 3.16 表示出来（参见 鞅表示定理（martingale representation theorem））。因此，很多我们在实际中关心的随机过程其实都是 Itô 过程。

使用我们的微分记号，我们可以对公式 3.17 求期望和方差，以获得更深的理解： $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[dX(t)]& =\mathbb{E}[\mu (t)dt+\sigma (t)dW(t)]\\ & =\mathbb{E}[\mu (t)dt]+\mathbb{E}[\sigma (t)dW(t)]\\ & =\mathbb{E}[\mu (t)]dt+\mathbb{E}[\sigma (t)]\mathbb{E}[dW(t)]\text{（}\sigma (t)\text{ 和 }dW(t)\text{ 独立）}\\ & \approx \mu (t)dt\text{（}\mu (t)\text{ 在很小的 }dt\text{ 上近似常数）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.18)}$$ $$\begin{array}{rlr}\mathrm{Var}[dX(t)]& =\mathrm{Var}[\mu (t)dt+\sigma (t)dW(t)]& \\ & =\mathbb{E}\left[{\left(\mu (t)dt+\sigma (t)dW(t)\right)}^2\right]-{\left(\mathbb{E}[dX(t)]\right)}^2& \\ & \approx \mathbb{E}[\sigma (t{)}^2(dW(t){)}^2]-(\mu (t)dt{)}^2\text{（公式 2.27 / 2.28）}& \\ & =\mathbb{E}[\sigma (t{)}^2]dt\text{（公式 2.26 ）}& \\ & \approx \sigma (t{)}^{2}dt\text{（在很小的 }dt\text{ 上近似常数）}& \end{array}\text{\hspace{1em}(3.19)}$$

在公式 3.18 中，$\sigma (t)$ 和 $dW(t)$ 是独立的，这是因为 $\sigma (t)$ 是适应于 $W(t)$ 的过程，而 $dW(t)$ 是关于 $t$ 的“未来”增量。因此，它们之间没有相关性。

这种推理只在 Itô 积分中成立，这是因为在公式 3.2 中我们选取了 $s_j=t_j$（即左端点）来决定积分的采样点。

事实上，这个结果在我们转换为积分符号时依然成立：

$$\mathbb{E}[X(t)]={\int }_0^t\mu (s)ds\text{\hspace{1em}(3.20)}$$

$$\mathrm{Var}[X(t)]={\int }_0^t{\sigma }^2(s)ds\text{\hspace{1em}(3.21)}$$

所以使用 $\mu$ 和 $\sigma$ 的符号是有意义的：普通的时间积分项贡献于 Itô 过程的均值，而随机积分项贡献于其方差。我们将在下一节看到如何对它们进行实际操作。

最后，和我们之前讨论的其他过程一样，我们也希望知道它的二次变差（quadratic variation）。我们可以用非正式的微分记号来计算二次变差：

$$\begin{array}{rl}dX(t)dX(t)& ={\sigma }^2(t)dW(t)dW(t)+2\sigma (t)\mu (t)dW(t)dt+{\mu }^2(t)dtdt\\ & ={\sigma }^2(t)dW(t)dW(t)\text{（公式 2.27/2.28）}\\ & ={\sigma }^2(t)dt\text{（Wiener 过程的二次变差）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.22)}$$

这个结果与我们在上面公式 3.19 中使用的计算基本一致（也和方差一样）。实际上，我们得到了和更简单的 Wiener 过程一样的结果，也就是说每单位时间的二次变差累积为 $H(t{)}^2$。这是因为交叉变差项（公式 2.27）和时间自身的二次变差项（公式 2.28）都为零，不会影响最终表达式。

最后，让我们看看如何使用非正式的微分记号来计算一个 Itô 过程 $X(t)$ 的积分：

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{t}F(s)dX(s)& ={\int }_0^{t}F(s)\left(\sigma (s)dW(s)+\mu (s)ds\right)\\ & ={\int }_0^t\left[F(s)\sigma (s)dW(s)+F(s)\mu (s)ds\right]\\ & ={\int }_0^{t}F(s)\sigma (s)dW(s)+{\int }_0^{t}F(s)\mu (s)ds\end{array}\text{\hspace{1em}(3.23)}$$

如我们所见，它只是一个简单的 Wiener 过程随机积分与一个常规时间积分的和。

例 7：一个简单的 Itô 积分

从我们的 Itô 过程开始：

$$X(t)=X(0)+{\int }_0^{t}Adt+{\int }_0^{t}BdW(s)\text{\hspace{1em}(3.24)}$$

其中 $A$ 和 $B$ 是常数。现在，使用该过程作为被积函数，计算一个简单的积分： $$\begin{array}{rl}I(t)& ={\int }_0^{t}CdX(s)\\ & ={\int }_0^{t}ACds+{\int }_0^{t}BCdW(s)\\ & =ACt+\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }\sum _{j=0}^{n-1}BC\left[W(t_{i+1})-W(t_i)\right]\text{（随机积分的定义）}\\ & =ACt+\underset{\Vert \Pi \Vert \to 0}{\lim }BC\left[W(t)-W(0)\right]\text{（裂项和 telescoping sum）}\\ & =ACt+BCW(t)\text{（}W(0)=0\text{）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.25)}$$

其中 $C$ 是常数。从这里我们可以看出，该过程的均值和方差可以直接计算，因为唯一的随机部分是 $W(t)$： $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[I(t)]& =\mathbb{E}[ACt+BCW(t)]\\ & =ACt+BC\cdot \mathbb{E}[W(t)]\\ & =ACt\text{（}\mathbb{E}[W(t)]=0\text{）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.26)}$$ $$\begin{array}{rl}\text{Var}[I(t)]& =\mathbb{E}\left[(I(t)-\mathbb{E}[I(t)]{)}^2\right]\\ & =\mathbb{E}\left[(BCW(t){)}^2\right]\\ & =(BC{)}^{2}t\text{（}\text{Var}[W(t)]=\mathbb{E}[W^2(t)]=t\text{）}\end{array}\text{\hspace{1em}(3.27)}$$ 这是我们直接从公式 3.20/3.21 得到的相同结果。最终结果是一个简单的随机过程，本质上是一个 Wiener 过程，但其均值随时间以速率 $AC$ 增长。

1. 实际上，我们可以允许更广泛的一类过程作为随机积分的积分器，称为 半鞅（semimartingales）， 但对于我们的目的而言，Itô 过程已经完全足够了。 ↩